具有 $b^{+}_{2}=1$ 和 ${c_1}^{2}=1,2$ 的亏格二 Lefschetz 纤维化

在本文中，我们通过对松本亏格二 Lefschetz 纤维化在 $\mathbb{S}^2$ 上的扭曲纤维和进行单次灯笼替换，构造了一族亏格二 Lefschetz 纤维化 $f_{n}: X_{\theta_n} \rightarrow \mathbb{S}^{2}$，满足 $e(X_{\theta_n})=11$，$b^{+}_{2}(X_{\theta_n})=1$ 和 $c_1^{2}(X_{\theta_n})=1$。此外，我们计算了 $X_{\theta_n}$ 的基本群，并证明当 $n = -3$ 或 $-1$ 时它同构于平凡群，当 $n =-2$ 时同构于 $\mathbb{Z}$，而对于所有整数 $n\neq -3, -2, -1$ 则同构于 $\mathbb{Z}_{|n+2|}$。我们还证明了我们的纤维化允许 $-2$ 截面，表明其全空间是辛极小的，并具有辛小平维数 $\kappa = 2$。另外，利用文献 \cite{A, AP1, ABP, AP2, AZ, AO} 中发展的技术，我们还通过松本和肖的亏格二 Lefschetz 纤维化的纤维和，构造了 $\mathbb{S}^2$ 上具有 $c_1^{2} = 1, 2$ 和 $\chi = 1$ 的亏格二 Lefschetz 纤维化，并展示了在构造具有 $b^{+}_{2} = 1$ 和 $b^{+}_{2} = 3$ 的小 $4$-流形上的奇异光滑结构方面的一些应用。