曲线乘积中的广义流形

本文旨在研究位于 $n$ 条曲线乘积中的一些特殊 $n$ 维连续统。（本文是 \cite{K-K-S} 部分内容的改进版。）我们证明，如果 $X$ 是位于 $n$ 条曲线乘积中的局部连通的所谓拟 $n$-流形，则 $H^1(X)$ 的秩 $\ge n$。此外，如果 $\rank H^1(X)<2n$，则 $X$ 可表示为一个 $m$-环面与一个拟 $(n-m)$-流形的乘积，其中 $m\ge2n-\rank H^1(X)$。由此可知，某些二维可缩多面体无法嵌入到两条曲线的乘积中。另一方面，我们证明任何可坍缩的二维多面体均可嵌入到两棵树的乘积中。我们回答了 R. Cauty 提出的一个问题，证明了可嵌入两条曲线乘积中的闭曲面也可嵌入两个图的乘积中。另一方面，我们构造了一个二维多面体的例子，它可以嵌入两条曲线的乘积中，但不能嵌入任何两个图的乘积中。这否定了 Cauty 提出的另一个问题。