关于拓扑笛卡尔空间中局部直积子集的注记

设 $X$ 与 $Y$ 为拓扑空间。设 $C$ 为 $X\times Y$ 中的道路连通闭集。假设 $C$ 是局部直积的，即对任意 $(a,b)\in X\times Y$，存在 $X$ 的开集 $U$、$Y$ 的开集 $V$、$U$ 的子集 $I$ 与 $V$ 的子集 $J$，使得 $(a,b) \in U\times V$ 且 $$C\cap (U\times V)=I\times J$$ 成立。则在本备忘录中，我们证明 $C$ 整体亦是如此，即存在 $X$ 的子集 $A$ 与 $Y$ 的子集 $B$ 使得 $$C=A\times B$$ 成立。证明是初等的。此处我们注意到，人们或许可以考虑关于局部平凡纤维空间的纤维积（而不仅是拓扑空间的直积）的一个（也许是开的）类似问题。在附录中，我们提及一个不能嵌入到直积 $(C([0,1];\mathbb R))^n$ 中作为 $C([0,1];\mathbb R)$-子流形的 $C([0,1];\mathbb R)$-流形的简单例子。此外，我们引入拓扑 2-空间的概念，它是拓扑空间的局部直积以及拓扑 2-空间的同伦范畴的类似物。最后，我们提出关于有限维 $\mathbb R^n$-欧几里得空间中 $\mathbb R^n$-Morse 函数的存在性以及 $\mathbb R^n$-浸入的存在性的问题。此处我们注意到，定义 $\mathbb R^n$-柄体的概念的问题亦可能被考虑。