黎曼流形上动量空间构造的广义傅里叶变换

我们通过谱分解在任何黎曼流形$\Sigma$上定义广义傅里叶变换(GFT)，将傅里叶分析扩展到弯曲空间。在变换是等距同构且其核可对角化拉普拉斯-贝尔特拉米算子的最小要求下，我们证明了GFT满足广义帕塞瓦尔-普朗歇尔定理。为了解决在此类设置中模糊“动量空间”的谱简并性，我们要求简并部分由一个局部的、对称性适配的最大阿贝尔交换集(纤维化MASA)来解析，该集合由几何微分算子构建，尤其是在存在此类对称性时由基灵数据构建。我们提供了生成这些交换算子的构造性算法，并表明产生的动量标签空间$\mathcal{F}$（离散、连续或混合）反映了几何对称性约束。我们引入了双重分类：(i) 根据MASA完备性和Stäckel可分离性，以及(ii) 根据$\mathcal{F}$的拓扑。最后，我们区分了由真实等距（保持GFT结构）引起的酉变化与由坐标适配的简并性解析/分离方案的变化引起的酉变化，后者可能产生不等价的$k$空间标记（例如$\mathbb{R}^{3}$中的笛卡尔与球面构造），但在$\mathcal{L}^{2}\left[\Sigma\right]$上保持酉等价。这种对称性适配的调和分析旨在作为弯曲空间模式分解的基础；动力学应用将在后续工作中展开。