无界自伴算子上 Lax 等价定理的推广及其在薛定谔算子中的应用

设 $A$ 为 Hilbert 空间 $X$ 上的无界自伴算子。令 $\{ A_n \}$ 为其具有闭值域 $\mathcal{R}(A_n) (n \in \mathrm{N})$ 的预解逼近序列，即 $A_n (n \in \mathrm{N})$ 均为 Hilbert 空间 $X$ 上的自伴算子，且 \begin{equation*} \hbox{ \raise-2mm\hbox{$\textstyle s-\lim \atop \scriptstyle {n \to \infty}$}} R_\lambda (A_n) = R_\lambda (A)\quad (\lambda \in \mathrm{C} \setminus \mathrm{R}), \ \textrm{其中} \ R_ \lambda(A) := (\lambda I-A)^{-1}. \end{equation*} Moore-Penrose 广义逆 $A^\dagger_n \in \mathcal{B}(X)$ 是 Moore-Penrose 广义逆 $A^\dagger$ 的自然逼近。本文证明：$A^\dagger$ 连续且被 $\{ A^\dagger_n \}$ 强收敛，当且仅当 $\sup\limits_n \Vert A^\dagger_n \Vert < +\infty$。另一方面，该结果表明，对于任何具有非闭值域的自伴算子方程（例如自由薛定谔算子、带库仑势的薛定谔算子以及多粒子模型中的薛定谔算子），由预解逼近 $\{ A_n \}$ 导出的任意有界计算格式 $\{ A^\dagger_n \}$ 天然不稳定（即 $\sup_n \Vert A^\dagger_n \Vert = \infty$）。这意味着通过预解逼近全局近似求解非闭值域自伴算子方程是不可行的。