加权 Moore-Penrose 逆的新公式及其应用

在 Hilbert $C^*$-模块上可逆 adjoint 算子的一般语境下，本文主要处理加权 Moore-Penrose 逆（简称加权 M-P 逆）$A^\dag_{MN}$，其中权重 $M$ 和 $N$ 为自伴可逆算子，不必为正定。推导了将 $A^\dag_{MN}$ 与 $A$、$A^\dag$、$M$ 和 $N$ 联系起来的新公式，其中 $A^\dag$ 表示 $A$ 的 Moore-Penrose 逆。基于此公式，获得了关于加权 M-P 逆的一些新结果。首先，证明了 $A^\dag_{MN}=A^\dag_{ST}$ 对于某些正定算子 $S$ 和 $T$，这表明 $A^\dag_{MN}$ 本质上是一个普通的加权 M-P 逆。其次，推广并改进了原来已知用于矩阵的普通加权 M-P 逆的一些极限公式。再次，证明了当 $A$、$M$ 和 $N$ 作用于相同的 Hilbert $C^*$-模块时，$A^\dag_{MN}$ 属于由 $A$、$M$ 和 $N$ 生成的 $C^*$-代数。最后，提供了加权 M-P 逆连续性的一些特征化结果。