加权伪逆的新解释及其应用

考虑广义线性最小二乘（GLS）问题 $\min\|Lx\|_2 \ \mathrm{s.t.} \ \|M(Ax-b)\|_2=\min$。加权伪逆 $A_{ML}^{\dag}$ 是将该问题最小2范数解映射到 $b$ 的矩阵。通过引入由 $\{A, M, L\}$ 在两个有限维希尔伯特空间之间诱导的线性算子，我们证明GLS问题的最小2范数解等价于涉及该线性算子的线性最小二乘问题的最小范数解，且 $A_{ML}^{\dag}$ 可表示为该线性算子的摩尔-彭罗斯伪逆与一个正交投影的复合。基于这一新解释，我们建立了完全刻画加权伪逆的广义摩尔-彭罗斯方程，给出了加权伪逆的广义奇异值分解（GSVD）闭式表达式，并提出了一种用于迭代求解GLS问题的广义LSQR（gLSQR）算法。我们构建了若干数值示例来测试所提出的迭代算法。结果揭示了GLS、加权伪逆、GSVD与gLSQR之间的紧密联系，为分析和计算提供了新工具。