Ritt算子与交替投影法中的收敛性

给定希尔伯特空间 $X$ 的 $N\ge2$ 个闭子空间 $M_1,\dotsc, M_N$，令 $P_k$ 表示到 $M_k$ 的正交投影，$1\le k\le N$。已知递归定义的序列 $(x_n)$（由 $x_0=x$ 与 $x_{n+1}=P_N\cdots P_1x_n$ 对 $n\ge0$ 给出）在范数下随着 $n\to\infty$ 收敛到 $P_Mx$，其中 $P_M$ 表示到 $M=M_1\cap\dotsc\cap M_N$ 的正交投影。此外，收敛速率要么对所有 $x\in X$ 是指数快的，要么对于适当选取的初始向量 $x\in X$ 可以任意慢。我们在已知收敛是指数快的情况下，就收敛速率给出了用自然几何量表示的新估计。更重要的是，我们随后证明即使收敛速率任意慢，对每个实数 $\alpha>0$，存在 $X$ 的一个稠密子集 $X_\alpha$ 使得对所有 $x\in X_\alpha$ 有 $\|x_n-P_Mx\|=o(n^{-\alpha})$ 当 $n\to\infty$。进而，存在 $X$ 的另一个稠密子集 $X_\infty$ 使得若 $x\in X_\infty$，则对所有 $\alpha>0$ 有 $\|x_n-P_Mx\|=o(n^{-\alpha})$ 当 $n\to\infty$。后述结果作为 Ritt 算子的通用性质的推论得到。作为一个副产品，我们还通过证明 $P_M x$ 事实上是某个无条件收敛级数的极限，加强了未量化的收敛结果。