Hilbert 空间中循环投影法的多项式估计

我们研究将循环投影法应用于实 Hilbert 空间 $\mathcal H$ 中闭线性子空间 $M_i$（$i=1,\ldots,m$）的情形。我们证明，沿所生成迭代轨迹的个体集合平均距离呈现出多项式行为 $o(k^{-1/2})$。令人惊讶的是，当起始点选自子空间 $\sum_{i=1}^{m}M_i^\perp$ 时，我们的结果给出了循环投影法本身的多项式收敛速率 $\mathcal O(k^{-1/2})$。此外，若 $\sum_{i=1}^{m} M_i^\perp$ 不闭，则上述两种速率均为最优可能，其意义在于相应的多项式 $k^{1/2}$ 不能被任何 $\varepsilon >0$ 的 $k^{1/2+\varepsilon}$ 所替代。