广义相对论与规范理论：镜界之外
摘要
李伪群是常微分方程（OD）或偏微分方程（PD）方程组解的变换群。本文旨在简要总结通过 OD 或 PD 方程组与李伪群的形式理论应用于工程（弹性力学、电磁学）或数学物理（广义相对论、规范理论）及其耦合（压电性、光弹性）所取得的一些近期结果。Cartan 的工作被典范 Spencer 序列的使用所超越，而 Vessiot 的工作被典范 Janet 序列的使用所超越，但这两个序列之间从而也是这两项工作之间的联系至今仍不为人所知。在线性框架下利用微分对偶性，共形变换群的 Spencer 算子的伴随给出了 Cosserat 方程、Maxwell 方程和 Weyl 方程以同等地位。这一结果既可统一工程科学的有限元，又在引力波情形下导致深刻矛盾。事实上，用 6 个应力函数参数化弹性 Cauchy 算子的 Beltrami 算子（1892）无非就是三维度规形变下参数化由 Bianchi 恒等式导出的 div 算子的自伴 Einstein 算子（1915）。Cauchy 与 div 算子之间的同样混淆也存在于时空之中，因为 Cauchy 算子可由 Ricci 算子的伴随来参数化。因此，尽管有时看似惊人，工程与数学物理的基础必须在此新框架内被重新审视。
引用
@article{arxiv.2302.06585,
title = {General Relativity and Gauge Theory: Beyond the Mirror},
author = {J. -F. Pommaret},
journal= {arXiv preprint arXiv:2302.06585},
year = {2023}
}
备注
This paper is an elementary summary of a more technical paper just appeared as a chapter of a book on gravitational waves: https://www.intechopen.com/online-first/1119249 (https://doi.org/10.5992/intechopen.1000851). arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:1707.09763, arXiv:1802.02430, arXiv:1706.04105