重访广义相对论的数学基础

本文旨在首次简要总结通过应用偏微分方程形式理论和 Lie 伪群所获得的一些近期结果，以重访广义相对论的数学基础。还将考虑其他工程实例（控制理论、弹性理论、电磁学）以阐明我们将提供的三个基本结果。因此，本文分为对应于所用不同形式方法的三个部分。1) CARTAN 与 VESSIOT：根据"Vessiot 结构方程"出现在"Riemann 张量"中的二次项，不得与 Lie 群著名的"Cartan 结构方程"中出现的二次项相混淆，对"Weyl 张量"也可作类似评论。特别是，"曲率 + 挠率"(Cartan) 不应被视为"仅曲率"(Vessiot) 的推广。粗略地说，Cartan 及其追随者未能"商降至底流形"，这一结果仅由 Spencer 于 1970 年通过"非线性 Spencer 序列"获得，但其方式与 Vessiot 于 1903 年为同一目的所遵循且仍被忽视的方式截然不同。2) JANET 与 SPENCER："Ricci 张量"仅依赖于非线性变换（Cartan 于 1922 年称为"elations"），这些变换描述了 Weyl 群（Poincaré 子群的 10 个参数 + 1 个 dilatation）与时空共形群（15 个参数）之间存在的"差异"。它可以通过正则分裂来定义，即无需使用导致 Riemann 张量标准收缩或迹的指标。同时，我们将无需任何关于指标交换的组合论证即可得到 Riemann 和 Weyl 张量的分量数。因此，共形 Killing 系统及其形式伴随的 Spencer 序列完整描述了 Cosserat/Maxwell/Weyl 理论，但广义相对论与此结果完全不相容。3) 代数分析：与其他物理方程（Cauchy 方程、Cosserat 方程、Maxwell 方程）相反，Einstein 方程无法被"参数化"，即通解不能用某些任意势类函数的导数来表示，从而否定了 J. Wheeler 于 1970 年提出的 1000 美元挑战。因此，必须在此形式框架内重访数学物理的数学基础，尽管对于某些看似已确立的理论（如电磁学和广义相对论）而言这似乎令人震惊。我们要强调，所提出的论证纯属数学性质，因此是不可避免的。