规范理论的数学基础再探
偏微分方程分析
2015-06-17 v1 数学物理
微分几何
群论
math.MP
摘要
我们以批判的眼光回顾了规范理论中使用的数学方法，并证明它们与连续介质力学（特别是刚体分析力学或流体力学）不相容，尽管它们使用了相同的群论方法，且弹性与电磁学之间存在众所周知的耦合（压电效应、光弹性、流动双折射）。本文旨在通过采用来自偏微分方程形式理论和 Lie 伪群的新数学方法来避免此类矛盾。这些结果最终使得能够统一 E. 和 F. Cosserat 兄弟于 1909 年针对弹性力学（分别使用空间刚体运动群）以及 H. Weyl 于 1918 年针对电磁学（使用时空共形群）此前独立的尝试。同时，我们解释了为何“几何”与“物理”之间存在的 Poincar\'{e}“对偶方案”与同调代数和代数分析有关。我们要强调，这些结果在 1975 年之前是不可能获得的，因为相应的工具在当时尚不为人知，且直至今日仍未被物理学家所熟知。
引用
@article{arxiv.1310.4686,
title = {The mathematical foundations of gauge theory revisited},
author = {Jean-François Pommaret},
journal= {arXiv preprint arXiv:1310.4686},
year = {2015}
}
备注
The paper is based on two lectures given in the department of mathematics of the university of Montpellier 2, France, in may 2013 and Firenze, Italy, in june 2013. It will be proposed to the "Journal of Modern Physics " (JMP)