度规引力哈密顿形式化的一般原理

本文阐述并讨论了为描述度规引力中的自由引力场而发展出的成功哈密顿方法的原理。通过使用度量广义相对论的标准 $\Gamma-\Gamma$ 拉格朗日量 ${\cal L}_{\Gamma-\Gamma}$，我们恰当地引入了度量引力场的所有动量，并推导了度量广义相对论的规范哈密顿量 $H_C$ 和总哈密顿量 $H_t$。我们还发展了一种有效方法，用于确定基本动力学变量（即广义坐标 $g_{\alpha\beta}$ 和动量 $\pi^{\mu\nu}$）的解析函数之间的各种泊松括号。一般而言，此类变量可以从直积 $\{ g_{\alpha\beta}, \pi^{\mu\nu} \}$ 或对偶 $\{ g^{\alpha\beta}, \pi_{\mu\nu} \}$ 辛动力学变量集中选择，这两组变量在任何为张量场耦合系统发展的哈密顿公式中总是出现（并相互补充）。通过对动力学变量应用正则变换，我们将规范哈密顿量 $H_C$ 约化为其自然形式。规范哈密顿量的自然形式在实际应用于度量广义相对论时提供了诸多优势，因为具有此类哈密顿量的动力系统的一般理论已发展完善。此外，对于哈密顿量已约化为自然形式的动力系统，已有许多解析和数值精确解被发现并详细描述。特别是，将规范哈密顿量 $H_C$ 约化为其自然形式，可以推导出自由引力场的雅可比方程，该方程形式特别简单。