仿射等价的内在神经算子用于椭圆 PDE 图的几何一致学习

从数据学习偏微分方程 (PDE) 的解算子已成为加速多查询科学工作流程中快速替代模型的有前景之路。然而，对于输入输出在局部坐标系 (规范) 变化下发生变换的几何 PDE，许多现有的算子学习架构仍依赖于表示，容易受度量扰动和离散化变化的影响。我们提出仿射等价的内在神经算子 (GINO)，这是一类通过主要作用于几何相关谱 spectra 上的内在谱乘子，结合仿射等价非线性的神经算子。该设计将几何从可学习的函数依赖性中解耦，并在坐标变换下强制实现一致性。在平面环面 (T^2) 上的受控问题中，GINO 在理论对齐诊断方面发挥作用，因为真实 resolvent 算子和正规化 Helmholtz--Hodge 分解可接受闭形式傅里叶表示，使其能够进行理论对齐诊断。在实验 E1--E6 中，GINO 实现了低的算子逼近误差、接近机器精度的仿射等价性、对结构化度量扰动的鲁棒性、在限制/扩张下的小交换误差的强跨分辨率泛化，以及在正规化的 exact/coexact 分解任务中的结构保持性能。进一步的消融实验将所学谱乘子的光滑性与几何扰动下的稳定性联系起来。这些结果表明，通过强制执行内在结构和仿射等价性，可为椭圆 PDE 的形式值域上的算子替代模型实现更几何一致且离散化稳健的性能。