通过约束势与能量截断构造模糊超球面

我们简化并完成了对所有维数 $d\equiv D-1$ 的完全 $O(D)$-等变模糊球面 $S^d_L$ 的构造，该工作始于[G. Fiore, F. Pisacane, J. Geom. Phys. 132 (2018), 423]。其基础是在 $\mathbb{R}^D$ 中约束势阱 $V(r)$ 内对量子粒子施加合适的能量截断，该势阱在半径 $r=1$ 的球面上具有极锐的最小值；截断值和势阱深度随 $L\in\mathbb{N}$ 发散。结果，非交换笛卡尔坐标 $\overline{x}^i$ 生成了希尔伯特空间 $H_L$ 上观测量的整个代数 $A_L$；$H_L$ 可通过将 $\overline{x}^i$ 中的多项式作用于其任一元素而恢复。$\overline{x}^i$ 的对易子与角动量分量成正比，如同在Snyder非交换空间中一样。$H_L$ 作为 $O(D)$ 可约表示的承载空间，同构于（交换的）$\mathbb{R}^{D+1}$ 笛卡尔坐标中次数为 $L$ 的调和齐次多项式空间，后者承载 $O(D+1)\supset O(D)$ 的不可约表示 ${\bf\pi}_L$。此外，$A_L$ 同构于 ${\bf\pi}_L\left(Uso(D+1)\right)$。我们分别将 $\{H_L\}_{L\in\mathbb{N}}$、$\{A_L\}_{L\in\mathbb{N}}$ 解释为 $S^d$ 上（平方可积）函数空间 $H_s:={\cal L}^2(S^d)$ 及其关联观测量代数 $A_s$ 的模糊形变，因为当 $L$ 发散（固定 $\hbar$）时它们分别趋于 $H_s,A_s$。在合适的 $\hbar=\hbar(L)\stackrel{L\to\infty}{\longrightarrow} 0$ 下，同一极限中 $A_L$ 趋于泊松流形 $T^*S^d$ 的（函数代数）；更形式化地，$\{A_L\}_{L\in\mathbb{N}}$ 给出了 $O(D+1)$ 余伴随轨道的模糊量子化，该轨道趋于经典相空间 $T^*S^d$。