基于单调性的猎人与兔子博弈的进一步结果

猎人与兔子博弈在图 $G$ 上进行，其中猎人玩家每轮射击 $k$ 个顶点，而兔子玩家占据一个未知顶点，若未被射中则每轮后必须移动到相邻顶点。若兔子玩家能确保其位置永不被射中则获胜，否则猎人玩家获胜。图 $G$ 的猎人数 $h(G)$ 是使猎人玩家拥有必胜策略（即无论兔子玩家采取何种策略均能获胜）的最小整数 $k$。该博弈已在若干图类中被研究，特别是二分图（网格、树、超立方体……），但计算 $h(G)$ 的计算复杂度在一般图乃至树中仍属开放问题。为取得进一步进展，我们提出猎人与兔子博弈的一种单调性概念，粗略地要求已被射中的顶点“不再容纳兔子”。这使我们能在多种图类中获得新结果。令单调猎人数记为 $mh(G)$。我们证明对任意路径宽 $pw(G)$ 的图 $G$ 有 $pw(G) \leq mh(G) \leq pw(G)+1$，意味着计算 $mh(G)$ 甚至将其加性常数近似都是 NP-hard 的。进而，我们证明 $mh(G)$ 可在分裂图、区间图、余图与树中于多项式时间内计算。这些结果经由结构刻画得出，使我们可以将单调猎人数与其中部分图类的路径宽相关联。在所有情形下，这都使我们能明确猎人数，或表明 $h$ 与 $mh$ 之间可能存在任意间隙，即单调性并无助益。特别地，我们证明对每个 $k\geq 3$，存在树 $T$ 满足 $h(T)=2$ 且 $mh(T)=k$。最后我们证明计算 $h$（相应地，$mh$）在由最小顶点覆盖规模参数化时是 FPT 的。