狩猎兔子：复杂度、可近似性及若干特征描述

在猎人和兔子游戏中，$k$ 个猎人试图在给定图 $G$ 上击杀一只看不见的兔子。在每一轮中，猎人选择 $k$ 个顶点进行射击，而兔子沿图 $G$ 的一条边移动。若在任意时刻兔子被击中，则猎人获胜。图 $G$ 的猎数记为 $h(G)$，表示至少有 $k$ 个猎人拥有一种对兔子的移动毫无依赖的获胜策略所需的最小整数。确定 $h(G)$ 的计算复杂度是关于该游戏最长久未解的开放问题之一。我们的首要贡献通过证明计算 $h(G)$ 为 NP-hard 来解决这一问题，即使只考虑二分图的简单图亦如此。我们进一步展示，即使 $h(G) = O(n^{\epsilon})$ 或 $n - h(G) = O(n^{\epsilon})$，其中 $n$ 为图的阶数，问题仍然是 NP-hard 的。此外，我们证明计算 $h(G)$ 在加法意义上在 $O(n^{1-\epsilon})$ 处的逼近问题也是 NP-hard 的。当对狩猎过程施加时间限制 $l$ 时，我们展示计算 $h(G)$ 对于任何 $l \ge 2$ 且 $l$ 为 $n$ 的多项式界限下仍为 NP-hard。另一方面，我们提出一种多项式时间 $l$ 因子近似算法用于计算带时间限制 $l$ 的猎数，并且我们展示当只允许两个时间槽（$l = 2$）时，二分图的 $h(G)$ 可在多项式时间内计算。最后，我们提供了若干环路图的描述性特征，用于描述满足 $h(G) = 1$ 的图（其中包含环路），扩展了已知的简单图的描述。