关于 Hadwiger 猜想的进一步进展

1943 年，Hadwiger 猜想：对每个 $t\ge 1$，每个无 $K_t$ 次图的图都是 $(t-1)$-可着色的。在 1980 年代，Kostochka 与 Thomason 各自证明了每个无 $K_t$ 次图的图具有平均度 $O(t\sqrt{\log t})$，因此是 $O(t\sqrt{\log t})$-可着色的。近来，Norin、Song 与作者证明了每个无 $K_t$ 次图的图对每 $\beta > 1/4$ 是 $O(t(\log t)^{\beta})$-可着色的，这是对 $O(t\sqrt{\log t})$ 界的数量级的首次改进。基于该工作，我们在本文中证明每个无 $K_t$ 次图的图对每 $\beta > 0$ 是 $O(t (\log t)^{\beta})$-可着色的。更具体地，结合作者的另一篇论文，它们是 $O(t \cdot (\log \log t)^{18})$-可着色的。