无 $K_t$ 次小图的图的连通性与列表可染性

1943 年，Hadwiger 猜想对每个 $t\ge 1$，每个无 $K_t$ 次小图的图都是 $(t-1)$-可染的。虽然 Hadwiger 猜想对列表染色不成立，但其线性弱化形式被猜想为真。在 1980 年代，Kostochka 与 Thomason 各自证明了每个无 $K_t$ 次小图的图具有平均度 $O(t\sqrt{\log t})$，从而是 $O(t\sqrt{\log t})$-列表可染的。最近，本文作者与 Song 证明了每个无 $K_t$ 次小图的图对每个 $\beta > \frac 1 4$ 是 $O(t(\log t)^{\beta})$-可染的。在此，我们基于该结果证明每个无 $K_t$ 次小图的图对每个 $\beta > \frac 1 4$ 是 $O(t(\log t)^{\beta})$-列表可染的。我们的主要新工具是无 $K_t$ 次小图的高度连通图中的顶点数上界：我们证明对每个 $\beta > \frac 1 4$，每个 $\Omega(t(\log t)^{\beta})$-连通且无 $K_t$ 次小图的图具有 $O(t (\log t)^{7/4})$ 个顶点。