Thue-Morse 字的反幂前缀长度相关函数

若长度为 $kn$ 的字 $w$ 可以写成 $w_1 \cdots w_k$ 的形式，其中每个 $w_i$ 是长度为 $n$ 的互异字，则称 $w$ 为 $k$-\textit{反幂}。我们分析了 Thue-Morse 字 $\textbf{t}$ 的前缀及其包含的反幂长度。定义 $\Gamma(k)$ 为使得长度为 $kn$ 的 $\textbf{t}$ 前缀不是 $k$-反幂的最大奇数 $n$，并定义 $\gamma(k)$ 为使得相应前缀是 $k$-反幂的最小奇数 $n$。我们给出了 $\gamma(k)$ 与 $\Gamma(k)-\gamma(k)$ 的渐近值的强界。我们对 $\gamma(k)$ 的界肯定地回答了 Defant 的一个猜想，并在回答 Defant 的第二个猜想方面取得了实质性进展。此前已知 $\Gamma(k)$ 和 $\gamma(k)$ 随 $k$ 线性增长，而我们对 $\Gamma(k)-\gamma(k)$ 的界证明了 $\Gamma(k)-\gamma(k)$ 也随 $k$ 线性增长。