广义 Thue-Morse 词中的算术指数

设 $q$ 为正整数。考虑定义在基数为 $q$ 的字母表上的无限词 $\omega=w_0w_1w_2\cdots$。若对某个正整数 $c$ 和 $d$ 有 $u=w_cw_{c+d}w_{c+2d}\cdots w_{c+(|u|-1)d}$，则称有限词 $u$ 为 $\omega$ 的算术因子。我们称 $c$ 为 $u$ 的起始数，$d$ 为差。对每个这样的 $u$，定义其算术指数为 $\lceil\log_q d\ceil$，其中 $d$ 是使 $u$ 作为差为 $d$ 的算术因子出现在 $\omega$ 中的最小正整数。本文研究定义在素数基数字母表上的 Thue-Morse 词推广的算术因子的算术指数的增长率。更确切地说，我们得到了 $\omega$ 中所有长度为 $n$ 的算术因子中算术指数最大值的上界与下界。