Thue-Morse词的逆幂前缀

最近，Fici、Restivo、Silva 和 Zamboni 将 $k$-逆幂定义为形如 $w_1w_2\cdots w_k$ 的词，其中 $w_1,w_2,\ldots,w_k$ 是长度相同的不同词。他们定义 $AP(x,k)$ 为所有正整数 $m$ 的集合，使得词 $x$ 的长度为 $km$ 的前缀是一个 $k$-逆幂。令 ${\bf t}$ 表示 Thue-Morse 词，并令 $\mathcal F(k)=AP({\bf t},k)\cap(2\mathbb Z^+-1)$。对于 $k\geq 3$，$\gamma(k)=\min(\mathcal F(k))$ 与 $\Gamma(k)=\max((2\mathbb Z^+-1)\setminus\mathcal F(k))$ 是定义良好的奇正整数。Fici 等人推测 $\gamma(k)$ 随 $k$ 线性增长。我们证明了事实确实如此，通过表明 $1/2\leq\displaystyle{\liminf_{k\to\infty}}(\gamma(k)/k)\leq 9/10$ 且 $1\leq\displaystyle{\limsup_{k\to\infty}}(\gamma(k)/k)\leq 3/2$。此外，我们证明了 $\displaystyle{\liminf_{k\to\infty}}(\Gamma(k)/k)=3/2$ 且 $\displaystyle{\limsup_{k\to\infty}}(\Gamma(k)/k)=3$。