论由 Thue-Morse 字定义的集合的加性性质

本文研究正整数集合 $\nats$ 的某些子集的加性性质：$\nats$ 的子集 $A$ 称为 {\it $k$-可和的}（其中 $k\in\ben$），如果 $A$ 包含 \textstyle \big{\sum_{n\in F}x_n | \emp\neq F\subseteq {1,2,...,k\} \big} 对于某个 $k$ 项自然数序列 $x_1<x_2 < ... < x_k$。我们称 $A \subseteq \nats$ 为有限 FS-大的，如果 $A$ 对每个正整数 $k$ 都是 $k$-可和的。我们称 $A \subseteq \nats$ 为无限 FS-大的，如果对每个正整数 $k$，$A$ 包含 {\sum_{n\in F}x_n | \emp\neq F\subseteq \nats and #F\leq k} 对于某个无穷自然数序列 $x_1<x_2 < ...$。我们称 $A\subseteq \nats$ 为 IP-set，如果 $A$ 包含 {\sum_{n\in F}x_n | \emp\neq F\subseteq \nats and #F<\infty} 对于某个无穷自然数序列 $x_1<x_2 < ...$。根据有限和定理 [5]，所有 IP-set 的集合是分区正则的，即，如果 $A$ 是 IP-set，则对于 $A$ 的任意有限划分，该划分的某个单元是 IP-set。这里我们证明所有有限 FS-大集合的集合也是分区正则的。设 $\TM =011010011001011010...$ 表示由态射 $0\mapsto 01$ 和 $1\mapsto 10$ 确定的 Thue-Morse 字。对于 $\TM$ 的每个因子 $u$，我们考虑 $u$ 在 $\TM$ 中所有出现位置的集合 $\TM\big|_u\subseteq \nats$。在本文中，我们用上述定义的加性性质刻画了集合 $\TM\big|_u$。利用 Thue-Morse 字，我们证明了所有无限 FS-大集合的集合不是分区正则的。