乘法 $IP^{\star}$ 集中的组合指数模式

$IP$ 集在算术 Ramsey 理论中起着基础作用。若某个集合形如 $FS\left(\langle x_{n}\rangle_{n\in \mathbb{N}}\right)=\left\{ \sum_{t\in H}x_{t}:H\right.$ 是 $\left.\mathbb{N}\right\}$ 的非空有限子集 $\left.\right\}$，则称其为加性 $IP$ 集；若其形如 $FP\left(\langle x_{n}\rangle_{n\in \mathbb{N}}\right)=\left\{ \prod_{t\in H}x_{t}:H\right.$ 是 $\mathbb{N}$ 的非空有限子集 $\left. \right\}$（对某个单射序列 $\langle x_{n}\rangle_{n\in \mathbb{N}}$），则称其为乘性 $IP$ 集。加性 $IP^{\star}$（相应地，乘性 $IP^{\star}$）集是指与每个加性 $IP$ 集（相应地，乘性 $IP$ 集）都相交的集合。在 \cite{key-1} 中，V. Bergelson 与 N. Hindman 研究了加性 $IP^{\star}$ 集的丰富性。他们证明了加性 $IP^{\star}$ 集（简称 $AIP^{\star}$）包含单一序列的有限和与有限积。A. Sisto 在 \cite{key-3} 中做了类似研究，证明了乘性 $IP^{\star}$ 集（简称 $MIP^{\star}$）包含单一序列的指数塔\footnote{稍后定义}与有限积。然而指数模式可用两种不同方式定义。本文中我们将证明 $MIP^{\star}$ 集包含两种不同的指数模式以及单一序列的有限积。这立即改进了 A. Sisto 的结果。我们还构造了一个并非源于可测动力系统回归性的 $MIP^\star$ 集。在整个工作中我们将使用 $\mathbb{N}$ 的 Stone-\v{C}ech 紧化的代数工具。