网格模式与置换统计量作为置换模式之和的展开

任意置换统计量 $f:\sym\to\CC$ 都可以唯一地表示为（经典）置换模式的一个可能是无限的线性组合：$f= \Sigma_\tau\lambda_f(\tau)\tau$。为了给出某些统计量的显式展开，我们引入了一种新型的置换模式，称为网格模式。直观上，网格模式 $p=(\pi,R)$ 的一次出现是置换模式 $\pi$ 的一次出现，并附加了由 $R$ 指定的关于出现条目相对位置的额外限制。我们证明，对于任意网格模式 $p=(\pi,R)$，有 $\lambda_p(\tau) = (-1)^{|\tau|-|\pi|}p^{\star}(\tau)$，其中 $p^{\star}=(\pi,R^c)$ 是与 $p$ 具有相同底层置换但具有互补限制的网格模式。我们利用这一结果展开了一些著名的置换统计量，例如从左到右极大值个数、下降数、超出数、不动点、强不动点以及主指标。我们还证明了交替置换、第一类安德烈置换和西姆孙置换自然地作为避免某些网格模式的置换出现。最后，我们提供了新的自然马洪统计量。