由低因子复杂度单词定义的中心集

自然数集 $\mathbb{N}$ 的子集 $A$ 若包含某个自然数无限序列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 中所有不同项的有限和，则称为 IP 集。中心集由 Furstenberg 利用拓扑动力学的概念首次引入，构成一类具有额外良好组合性质的特殊 IP 集：每个中心集包含任意长的等差数列，以及所有分区正则齐次线性方程组的解。在本文中，我们展示了某些具有低因子复杂度的非周期单词族如何被用来生成具有额外良好性质的广泛中心集，这些性质继承自底层单词丰富的组合结构。我们考虑了 Sturmian 单词及其向更高字母表的扩展（即所谓的 Arnoux-Rauzy 单词），以及由替换规则生成的单词，包括著名的 Thue-Morse 单词。我们还描述了中心集与原始替换不动点的强重合条件之间的联系，这为不可约 Pisot 替换的强重合猜想提供了一种新方法。我们的方法同时利用了单词组合学的一般理论、由替换规则定义的抽象计数系统的算术性质、包括邻近性和等连续性在内的拓扑动力学概念、符号动力系统的谱理论，以及由 N. Hindman、D. Strauss 等人发展的优美理论，该理论将 IP 集与 $\mathbb{N}$ 的 Stone-\v{C}ech 紧化的代数/拓扑性质联系起来。利用将单词映射到单词的关键概念 $p$-$\lim_n$，我们在超滤器的框架下应用了单词组合学的思想。