自由群子群与有限展示的通用性质

自由群的有限生成子群以及有限群展示的渐近性质，可以根据这些对象的表示方式及其表示上假设的分布以多种方式考虑：这里我们假设它们由既约字（子群的生成元）的元组或循环既约字（关系子）的元组表示。经典模型考虑固定大小的字元组（例如少生成元模型）或指数大小的元组（例如Gromov密度模型），并且通常假设等长字是等概率的。我们用概率方案推广了少生成元模型和密度模型，该方案也允许元组大小的可变性以及给定长度字上的非均匀分布。我们的第一个结果依赖于分布上相对温和的前缀重度假设，该假设本质上指出字的概率随其长度增长呈指数级下降。在此假设下，我们推广了几个经典结果：在指数意义下，随机选取的元组普遍地是其生成子群的基，该子群是正规子群，且该元组满足小消融性质，即使对于指数大小的元组亦然。在给定长度字上均匀分布的特殊情况下，我们给出了中心树性质的一个相变定理，该组合性质与元组自由生成子群这一事实密切相关。随后，我们在分布由马尔可夫方案指定的情形下进一步细化了我们的结果，特别地，我们给出了一个相变定理，推广了关于均匀随机选取的循环既约字元组在何种密度以下在指数意义下普遍满足小消融性质、在何种密度以上展示平凡群的经典结果。