Thue-Morse 词的反对幂 $j$-不动集

最近，Fici、Restivo、Silva 和 Zamboni 引入了 $k$-反对幂的概念，其定义为形如 $w^{(1)} w^{(2)} \cdots w^{(k)}$ 的词，其中 $w^{(1)}, w^{(2)}, \ldots, w^{(k)}$ 是长度相同的互异词。对于无限词 $w$ 和正整数 $k$，定义 $AP_j(w,k)$ 为所有满足 $w_{j+1} w_{j+2} \cdots w_{j+km}$ 是 $k$-反对幂的整数 $m$ 的集合，其中 $w_i$ 表示 $w$ 的第 $i$ 个字母。还定义 $\mathcal{F}_j(k) = (2 \mathbb{Z}^+ - 1) \cap AP_j(\mathbf{t},k)$，其中 $\mathbf{t}$ 表示 Thue-Morse 词。对所有 $k \in \mathbb{Z}^+$，$\gamma_j(k) = \min (AP_j(\mathbf{t},k))$ 是良定义的正整数，并且对充分大的 $k \in \mathbb{Z}^+$，$\Gamma_j(k) = \sup ((2 \mathbb{Z}^+ -1) \setminus \mathcal{F}_j(k))$ 是良定义的奇正整数。Defant 在 2018 年的论文中证明了 $\gamma_0(k)$ 和 $\Gamma_0(k)$ 关于 $k$ 线性增长。我们推广 Defant 的方法以证明对任意非负整数 $j$，$\gamma_j(k)$ 和 $\Gamma_j(k)$ 关于 $k$ 线性增长。特别地，我们证明 $\displaystyle 1/10 \leq \liminf_{k \rightarrow \infty} (\gamma_j(k)/k) \leq 9/10$ 且 $\displaystyle 1/5 \leq \limsup_{k \rightarrow \infty} (\gamma_j(k)/k) \leq 3/2$。此外，我们证明 $\displaystyle \liminf_{k \rightarrow \infty} (\Gamma_j(k)/k) = 3/2$ 且 $\displaystyle \limsup_{k \rightarrow \infty} (\Gamma_j(k)/k) = 3$。