Thue-Morse 词的前缀回文长度

无限词 $u$ 的前缀回文长度 $PPL_u(n)$ 是表示 $u$ 的长度为 $n$ 的前缀所需拼接的回文的最小个数。在 2013 年与 Puzynina 和 Zamboni 合著的一篇论文中，我们提出猜想：对于每个非最终周期的无限词 $u$，$PPL_u(n)$ 是无界的。迄今为止，该猜想已对几乎所有词得到证明，包括所有避免某幂 $p$ 的词。然而，即便在该简单情形下，使得 $PPL_u(n)>K$ 的最小个数 $n$ 的现有上界仍大于任意常数关于 $K$ 的幂。即便是对于 Fibonacci 词这样最简单的例子，其 $PPL_u(n)$ 的精确值也未知。本文给出此类精确计算的首个例子，并计算了 Thue-Morse 词这一著名的无限词函数测试对象的前缀回文长度函数。该序列恰为 $2$-正则的，这引出了该事实能否推广到所有自动机序列的问题。