关于单词作为回文乘积的最小分解

给定一个有限单词 $u$，我们定义其回文长度 $|u|_{pal}$ 为满足 $u=v_1v_2... v_n$ 且每个 $v_i$ 均为回文的最小整数 $n$。我们探讨以下开放性问题：是否存在一个无限非最终周期单词 $w$ 和一个正整数 $P$，使得对于 $w$ 的每个因子 $u$ 都有 $|u|_{pal}<P$？我们通过证明如果一个无限单词 $w$ 满足所谓的 $(k,l)$-条件（对于某些 $k$ 和 $l$），则对于每个正整数 $P$，都存在 $w$ 的一个因子 $u$ 使得其回文长度 $|u|_{pal}>P$，从而对该问题给出了部分回答。特别地，该结果适用于所有 $k$-幂自由单词以及 Sierpinski 单词。