关于自动词的前缀回文长度

无限字 $\mathbf{u}$ 的前缀回文长度 $\mathrm{PPL}_{\mathbf{u}}(n)$ 是表示 $\mathbf{u}$ 的长度为 $n$ 的前缀所需拼接的回文的最小数量。自2013年以来，尽管已证明对几乎所有非周期字都成立，但对于每个非周期无限字 $\mathbf{u}$ 其 $\mathrm{PPL}_{\mathbf{u}}(n)$ 是否无界仍属未知。与此同时，唯一被精确计算出函数 $\mathrm{PPL}_{\mathbf{u}}(n)$ 的著名非平凡无限字是 Thue-Morse 字 $\mathbf{t}$。该字是 $2$-自动的，并且可预见地其函数 $\mathrm{PPL}_{\mathbf{t}}(n)$ 是 $2$-正则的，但对所有自动字是否均如此？本文中，我们证明了对每个仅含有限个回文的 $k$-自动字，该函数是 $k$-正则的。对于其中两个字，即折纸字（paperfolding word）与 Rudin-Shapiro 字，我们推导出了该函数的公式。我们的计算实验表明一般而言这并不成立：对于倍周期字（period-doubling word），前缀回文长度看起来不是 $2$-正则的；而对于 Fibonacci 字，它看起来不是 Fibonacci-正则的。若得证，这些结果将给出自动字的自然函数中非正则的罕见（即便不是首个）例子。