Sierpinski 词的前缀回文长度

无限词 $\mathbf{u}$ 的前缀回文长度 $p_{\mathbf{u}}(n)$ 是表达 $\mathbf{u}$ 的长度为 $n$ 的前缀所需拼接回文的最小数量。该函数出奇地难以研究；特别地，关于仅当 $\mathbf{u}$ 最终周期时 $p_{\mathbf{u}}(n)$ 才有界的猜想自 2013 年以来一直未解。一个更近的猜想涉及周期倍增词的前缀回文长度：它似乎不是 $2$-正则的，如果为真，这将给出一个罕见乃至唯一的 $2$-自动词的非正则函数例子。然而，对于某些其他 $k$-自动词，已知其前缀回文长度是 $k$-正则的。在此我们向这些词列表中加入 Sierpinski 词 $\mathbf{s}$，并给出 $p_{\mathbf{s}}(n)$ 的完整描述。