关于 Sturmian 序列回文长度的注记

Frid、Puzynina 与 Zamboni（2013）将有限词 $w$ 的回文长度定义为使其连接等于 $w$ 的回文的最小个数。对无限词 $u$，我们研究 $PL_{u}$，即对每个正整数 $n$ 赋予 $u$ 中长度为 $n$ 的因子的极大回文长度的函数。近来，Frid（2018）证明了对任意 Sturmian 词 $u$ 有 $\limsup_{n\to\infty} PL_{u}(n)=+\infty$。我们证明存在常数 $K>0$ 使得对每个 Sturmian 词 $u$ 有 $PL_{u}(n)\leq K\ln n$，且对满足 $\lim_{n\to\infty}f(n)=+\infty$ 的每个非减函數 $f$，存在 Sturmian 词 $u$ 使得 $PL_{u}(n)=O(f(n))$。