多维大象随机游走的函数极限定理

在本文中，我们将推导多维大象随机游走（MERW）的函数极限定理，从而扩展 Bercu 和 Laulin（2019）针对一维边际所给出的结果。MERW 是 $\mathbb{Z}^d$ 上的非马尔可夫离散时间随机游走，它对自身整个过去具有完全记忆，暗指“大象从不遗忘”的传统说法。顾名思义，MERW 是大象随机游走（ERW）的 $d$ 维推广，后者由 Sch"utz 和 Trimper 于 2004 年首次提出。我们通过一个介于零和一之间的所谓记忆参数 $p$ 来衡量大象记忆的影响。Sch"utz 和 Trimper 观察到的一个显著特征是，ERW 的长时间行为在某个临界记忆参数 $p_c$ 处表现出相变。我们借助 MERW 与 P\'olya urn 之间的联系，遵循 Baur 和 Bertoin 针对 ERW 工作中的类似思想，研究 MERW 在所有记忆区间中的渐近行为。