三角形中的全填充圈：匹配、路径与谜题

三角形中的全填充圈构型 (TFPLs) 最初出现在对方格网上普通全填充圈构型 (FPLs) 的研究中，用于证明具有给定链接模式（包含 $m$ 个嵌套拱）的 FPL 数量是 $m$ 的多项式函数。不久后发现 TFPLs 拥有许多其他优良性质。例如，它们可被视为 Littlewood-Richardson 系数的广义模型。本文首先引入 TFPLs 的有向版本；与普通 TFPLs 相比，其主要优势在于仅涉及局部约束。我们提供了三项主要贡献。首先，我们表明普通 TFPLs 的数量可从有向 TFPLs 的加权枚举中提取，因此只需考虑后者。其次，我们将有向 TFPLs 分解为两个匹配，并利用经典双射获得两族不相交格点路径（路径纠缠）。这一视角被证明对于给出 TFPLs 存在所需的边界条件的已知条件提供简易证明极为有用。一个例子是不等式 $d(u)+d(v)\le d(w)$，其中 $u,v,w$ 是编码普通 TFPLs 边界条件的 01-字，$d(u)$ 是与 $u$ 关联的 Ferrers 图中的单元格数。在第三部分，我们考虑满足 $d(w)-d(u)-d(v)=0,1$ 的 TFPLs；在第一种情况下，其数量由 Littlewood-Richardson 系数给出，但在第二种情况下，我们也提供了用 Littlewood-Richardson 系数表示的公式。这些公式的证明纯属组合性质。