六边形全填充回路构型的组合学

本文定义了六边形全填充回路构型（HFPLs）。它们推广了三角形全填充回路构型。为了编码 HFPL 的边界条件，为其分配一个由 $01$-词组成的六元组 $(\mathsf{l}_\mathsf{T},\mathsf{t},\mathsf{r}_\mathsf{T};\mathsf{r}_\mathsf{B},\mathsf{b},\mathsf{l}_\mathsf{B})$。本文的第一个主要结果陈述了 HFPL 边界 $(\mathsf{l}_\mathsf{T},\mathsf{t},\mathsf{r}_\mathsf{T};\mathsf{r}_\mathsf{B},\mathsf{b},\mathsf{l}_\mathsf{B})$ 的必要条件。例如，必须满足不等式 $d(\mathsf{r}_\mathsf{B})+d(\mathsf{b})+d(\mathsf{l}_\mathsf{B})\geq d(\mathsf{l}_\mathsf{T})+d(\mathsf{t})+d(\mathsf{r}_\mathsf{T})+\vert\mathsf{l}_\mathsf{T}\vert_1\vert\mathsf{t}\vert_0+\vert\mathsf{t}\vert_1 \vert\mathsf{r}_\mathsf{T}\vert_0+\vert\mathsf{r}_\mathsf{B}\vert_0\vert\mathsf{l}_\mathsf{B}\vert_1$，其中 $\vert\cdot\vert_i$ 表示 $i$ ($i=0,1$) 的出现次数，$d(\cdot)$ 表示逆序数。本文的另一个主要贡献是对边界为 $(\mathsf{l}_\mathsf{T},\mathsf{t},\mathsf{r}_\mathsf{T};\mathsf{r}_\mathsf{B},\mathsf{b},\mathsf{l}_\mathsf{B})$ 且满足 $d(\mathsf{r}_\mathsf{B})+d(\mathsf{b})+d(\mathsf{l}_\mathsf{B})-d(\mathsf{l}_\mathsf{T})-d(\mathsf{t})-d(\mathsf{r}_\mathsf{T})-\vert\mathsf{l}_\mathsf{T}\vert_1\vert\mathsf{t}\vert_0- \vert\mathsf{t}\vert_1\vert\mathsf{r}_\mathsf{T}\vert_0-\vert\mathsf{r}_\mathsf{B}\vert_0\vert\mathsf{l}_\mathsf{B}\vert_1=0,1$ 的 HFPLs 进行计数。更确切地说，在第一种情况下，它们由 Littlewood-Richardson 系数计数；在第二种情况下，其数量用 Littlewood-Richardson 系数表示。