从约束系统建模到广义几何及其回到数值方法

在本札记中，我们描述广义几何中的某些对象如何出现在力学系统的定性分析与数值模拟中。特别地，我们讨论双向量丛与 Dirac 结构。这些对象可自然关联到带约束的系统——我们在所谓隐式拉格朗日系统的背景下回顾其数学构造。我们解释它们如何被用于产生新的数值方法，我们称之为 Dirac 积分器。在以重力场中单摆为测试例时，我们将 Dirac 积分器与经典显式及隐式方法进行比较，并特别关注约束的保持。随后，在更复杂的 Ziegler 柱例子中，我们表明数值方法的选择确实会影响力学系统动力学定性分析的结论。我们还通过解释其与几何非保守度及运动结构稳定性概念的关系，说明了为何认为 Dirac 积分器适用于此类系统。