从重访时间的极大值到饥饿随机游走

近来,为量化随机游走探索行为,引入并分析了一个基本可观测量:当随机游走已访问 $k$ 个不同格点时,其找到此前从未访问过的格点所需的时间 $\tau_k$。此处我们处理 $\tau_0,\dots,\tau_{n-1}$ 中最大时长 $M_n$ 的统计这一自然问题。该问题属于极值统计这一活跃领域,其难点在于随机变量 $\tau_k$ 既相关又非同分布。除这一基本方面外,我们表明 $M_n$ 统计的渐近确定在觅食理论中有明确应用,并使我们得以解决开放的 $d$ 维饥饿随机游走问题——其中晶格上每格点初始含一个食物单位,随机游走在访问时被消耗,且游走者在饥饿前可在无食物情况下行进 $\mathcal{S}$ 步。包括常规扩散、反常扩散以及无序介质与分形中的扩散在内的不同性质过程,在同一普适类中具有共性。