从仿射 $A_4$ 到仿射 $H_2$:五重对称拼砌的群论分析

格的投影可用作准晶的模型,而本工作所讨论的作为 $A_4$ 子群的 $H_2$ 对称性的特殊仿射扩张,为五重对称准晶学提供了一个不同的视角。仿射 $H_2$ 是作为仿射 $A_4$ 的子群而得到的。具有 10 阶局部二面体对称性的无限群作用于 $A_4$ 的根格与权格的 Coxeter 平面,其 Voronoi 胞腔铺砌了具有仿射 $A_4$ 对称性的 4 维欧氏空间。研究表明,根格的 Voronoi 胞腔的投影在仿射 $H_2$ 对称性的作用下用厚菱形和薄菱形铺砌 Coxeter 平面。权格的 Voronoi 胞腔向 Coxeter 平面的投影用四种不同的拼块铺砌该平面:由正方形面的投影得到的具有不同边长的厚菱形和薄菱形,以及由 Voronoi 胞腔的六边形面的投影得到的两种六边形。确定了固定 Coxeter 平面上某一特定点的局部二面体对称性 $H_2$ 的结构。