来自仿射 F4、B6 和 E6 的 12 重准晶体学

获得准晶体结构的一种可能方法是将高维晶格投影到二维或三维子空间中。在本文中，我们介绍了一种适用于任何高维晶格的通用技术。我们指出，Coxeter-Weyl 群的 Coxeter 数和 Coxeter 指数在确定晶格投影平面以及准晶体结构的二面体对称性方面起着至关重要的作用。Cartan 矩阵的特征向量和特征值用于确定 n 维欧几里得空间中的一组正交向量，从而为投影子空间提供合适的选择。通过识别 Coxeter-Weyl 群的最大二面体子群来确定准晶体结构的对称性。我们给出了通过投影由仿射 Coxeter-Weyl 群 Wa(F4)、Wa(B6) 和 Wa(E6) 确定的高维晶格而获得的具有 12 重对称性的准晶体结构的例子。这些群具有相同的 Coxeter 数 h=12，但 Coxeter 指数不同。通过定义两个生成元 R1 和 R2 作为 Coxeter-Weyl 群生成元的乘积，可以获得 Coxeter 群的二面体子群 D12。反射生成元 R1 和 R2 在 Coxeter 平面中操作，其中 Coxeter 群的 Coxeter 元 R1R2 代表 12 阶旋转。晶格的规范投影（条带投影）决定了具有 12 重对称性的准晶体结构以及具有 4 重和 6 重对称性的晶体结构的性质。我们注意到，从晶格 Wa(F4) 和 Wa(B6) 获得的准晶体结构与实验结果相容。