从$A_1$到$A_\infty$：某些极大算子的新型混合不等式

本文中，我们证明了与Young函数相关的极大算子的混合不等式，这是对\cite{Berra}中建立的一个猜想的改进。具体而言，给定$r\geq 1$，$u\in A_1$，$v^r\in A_\infty$以及一个具有特定性质的Young函数$\Phi$，我们有不等式$$uv^r\left(\left\{x\in \mathbb{R}^n: \frac{M_\Phi(fv)(x)}{M_\Phi v(x)}>t\right\}\right)\leq C\int_{\mathbb{R}^n}\Phi\left(\frac{|f(x)|}{t}\right)u(x)v^r(x)\,dx$$对每一个正数$t$成立。所涉及的算子$\frac{M_\Phi(fv)(x)}{M_\Phi v(x)}$在$v^r\in A_\infty$时似乎是恰当的推广，因为当我们假设$v^r\in A_1$时，可用$v$替代$M_\Phi v$，从而得到\cite{Berra-Carena-Pradolini(MN)}中证明的关于$M_\Phi$的混合不等式。作为应用，我们进一步给出并证明了广义分数阶极大算子$M_{\gamma,\Phi}$的混合不等式，其中$0<\gamma<n$且$\Phi$为$L\log L$型的Young函数。