图中的分数因子、分支因子与孤立顶点条件

对于图$G = (V, E)$，一个{\em 分数$[a, b]$-因子}是一个实值函数$h:E(G)\to [0,1]$，满足对所有$v\in V(G)$有$a \le ~ \sum_{e\in E_G(v)} h(e) ~ \le b$，其中$a$和$b$为实数，$E_G(v)$表示与$v$关联的边集。本文证明了条件$\mathit{iso}(G-S) \le (k+\frac{1}{2})|S|$等价于分数$[1,k+ \frac{1}{2}]$-因子的存在性，其中${\mathit{iso}}(G-S)$表示$G-S$中孤立顶点的个数。以分数因子为工具，我们在给定的孤立条件下构造分支因子。即：(i) 图$G$有一个$\{P_2,C_3,P_5, \mathcal{T}(3)\}$-因子当且仅当对所有$S\subset V(G)$有$\mathit{iso}(G-S) \le \frac{3}{2}|S|$；(ii) 图$G$有一个$\{K_{1,1}, K_{1,2}, \ldots,$ $K_{1,k}, \mathcal{T}(2k+1)\}$-因子（$k\ge 2$）当且仅当对所有$S\subset V(G)$有$\mathit{iso}(G-S) \le (k+\frac{1}{2})|S|$，其中$\mathcal{T}(3)$和$\mathcal{T}(2k+1)$是两个特殊的树族。