高孤立韧度韧图中的元素与连通元素

设 $G$ 为一图，$f$ 为 $V(G)$ 上的正整数值函数。假设对所有 $S\subseteq V(G)$，$$\sum_{v\in I(G\setminus S)}f(v)(f(v)+1)\le |S|,$$ 其中 $I(G\setminus S)$ 表示 $G\setminus S$ 的孤立顶点集。本文中，我们证明若对所有 $S\subseteq V(G)$，$$\omega(G\setminus S)\le \sum_{v\in S}(f(v)-1)+1,$$ 且 $\sum_{v\in V(G)}f(v)$ 为偶数，则 $G$ 有一个元素 $F$ 使得对每个顶点 $v$ 有 $d_F(v)=f(v)$，其中 $\omega(G\setminus S)$ 表示 $G\setminus S$ 的分支数。此外，我们证明若对所有 $S\subseteq V(G)$，$$\omega(G\setminus S)\le \frac{1}{4}|S|+1,$$ 且 $f\ge 2$，则 $G$ 有一个连通元素 $H$ 使得对每个顶点 $v$ 有 $d_H(v)\in \{f(v),f(v)+1\}$。