Hofstadter 蝴蝶中的分数 disclination 电荷与离散位移

在晶体对称性存在下，物质的拓扑相获得一系列不变量，导致非平凡的量子化响应。这里我们研究一个特定的不变量，即自由费米子方晶格 Hofstadter 模型的离散位移 $\mathscr{S}$。在 $M$ 重旋转对称性和电荷守恒存在下，$\mathscr{S}$ 与 $\mathbb{Z}_M$ 分类相关。$\mathscr{S}$ 对以下两者给出量子化贡献：(i) 束缚在晶格 disclination 上的分数电荷，以及 (ii) 对称插入额外磁通的基态角动量。$\mathscr{S}$ 形成其自身的“Hofstadter 蝴蝶”，我们数值计算了它，细化了通常的 Hofstadter 模型相图。我们提出了 $\mathscr{S}$ 关于 Hofstadter 能带的每个 plaquette 密度和磁通的经验公式，并推导了若干一般约束。我们表明具有相同陈数的能带可能具有不同值的 $\mathscr{S}$，尽管奇数和偶数陈数能带分别总是具有半整数和整数值的 $\mathscr{S}$。