晶格对称阿贝尔拓扑相的晶态规范场与量子化离散几何响应

连续统中洁净的各向同性量子霍尔流体具有一系列对称性保护的量子化不变量，如霍尔电导率、位移和霍尔黏性。本文发展了定义在晶格上的拓扑相的对称性保护量子化不变量理论，其中可出现无连续统类比的量子化不变量。我们利用离散晶态规范场构建拓扑场论，以完全刻画具有对称群 $G = U(1) \times G_{\text{space}}$ 的 (2+1) 维阿贝尔拓扑序的量子化不变量，其中 $G_{\text{space}}$ 由晶格上保持定向的空间群对称性组成。我们展示了离散转动与平移对称性分数量子化如何由离散自旋矢量、离散挠率矢量（在连续统中或无晶格转动对称性时均无类比）以及面积矢量（在连续统中亦无类比）来刻画。离散挠率矢量意味着一种晶体动量分数量子化，其仅对 $2$、$3$ 和 $4$ 重转动对称性非平凡。该量子化拓扑响应理论包含位移的离散版本，其将分数电荷束缚于向错与角点、向错的分数量子化角动量、转动对称分数电荷极化及其角动量对应物、单位晶胞内电荷与角动量的约束，以及束缚于位错与单位面积的量子化动量。分数电荷极化仅在不具有 $2$、$3$ 和 $4$ 重转动对称性的晶格上非平凡，其意味着束缚于晶格位错的分数电荷以及沿边界的单位长度分数电荷。由依赖于晶格点群对称性的伯格斯矢量上的有限群分级起着重要作用。