二维 $C_n$ 对称拓扑晶体绝缘体中的分数化向错电荷

局域于向错缺陷的鲁棒分数电荷近来被发现是 $C_{6}$ 对称二维拓扑晶体绝缘体（TCIs）中的一种拓扑响应。在本文中，我们彻底研究了有或无时间反演对称性的 $C_n$ 对称 TCI 中向错上的分数电荷，包括无自旋和自旋-$\frac{1}{2}$ 情形。我们从实空间中的 Wannier 表示计算分数向错电荷，并使用能带表示理论为所有容许（广义）Wannier 表示的 $2D$ TCI 构造分数向错电荷的拓扑指数。我们发现对于 $C_n$ 对称 TCI，向错电荷以 $\frac{e}{n}$ 为单位分数化；而对于具有额外时间反演对称性的自旋-$\frac{1}{2}$ TCI，向错电荷以 $\frac{2e}{n}$ 为单位分数化。我们进一步证明，在保留 $C_n$ 对称性和多体体隙的电子-电子相互作用下，尽管我们可以将一个 TCI 形变为在自由费米子情形下拓扑不同的另一个 TCI，但由我们的拓扑指数决定的分数向错电荷在此过程中不会改变。此外，我们使用代数技术将指数推广到具有非零陈数的 TCI，其中 Wannier 表示不适用。包含陈数后，我们的广义分数向错指数适用于所有 $C_n$ 对称 TCI。最后，我们简要讨论了广义指数的陈数依赖性与 Wen-Zee 项之间的联系。