蜂窝晶格的彩色霍夫施塔特蝴蝶

我们依赖一种最近提出的确定边缘谱的方法，并利用它计算了每个单胞具有有理磁通量的蜂窝晶格上霍夫施塔特模型的陈数。基于体边对应关系，陈数 $\sigma_H$ 由 $2 \times 2$ 转移矩阵的本征矢量作为准动量 $k \in (0,2 \pi)$ 函数的卷绕数给出。该方法计算效率高（在所期望图像的分辨率上为 $O(n^4)$ 量级）。它还表明，对于蜂窝晶格，第 $r$ 个能隙中通量 $p/q$ 的 $\sigma_H$ 解符合丢番图方程 $r=\sigma_H\cdot p+ s\cdot q$，该方程确定了 $\sigma_H \mod q$。诸如 $\sigma_H \in(-q/2,q/2)$ 或可能平移的窗口为 $\sigma_H$ 提供了一个自然的附加条件，但事实证明该条件并未得到满足。基于广泛的数值计算，我们猜想解符合松弛条件 $\sigma_H\in(-q,q)$。