非线性椭圆方程解的分数阶可微性

我们研究散度形式的非线性椭圆方程 $${\operatorname{div}}{\mathcal A}(x,Du)={\operatorname{div}}G.$$ 当 ${\mathcal A}$ 在 $Du$ 中具有线性增长，且假设 $x\mapsto{\mathcal A}(x,\xi)$ 具有 $B^\alpha_{\frac{n}\alpha, q}$ 光滑性时，在某些 $p\in[2,\frac{n}{\alpha})$ 和 $q\in[1,\infty]$ 取值下，发现 $B^\alpha_{p,q}$ 中的局部适定性。在特殊情况 ${\mathcal A}(x,\xi)=A(x)\xi$、$G=0$ 且 $A\in B^\alpha_{\frac{n}\alpha,q}$（$1\leq q\leq\infty$）下，我们对每个 $p<\frac{n}\alpha$ 得到 $Du\in B^\alpha_{p,q}$。我们证明中的主要工具是一个更一般的结果，该结果在 ${\mathcal A}$ 在 $Du$ 中具有 $s-1$ 增长（$2\leq s\leq n$）时也成立，并且断言只要 $x\mapsto{\mathcal A}(x,\xi)$ 满足局部一致 $VMO$ 条件，则对每个 $q>s$ 在 $L^q$ 中存在局部适定性。