Hurst 指数 $H=0$ 的分数布朗运动与高斯酉系综

本文旨在建立 $N\to\infty$ 时 $N\times N$ GUE 随机矩阵 $\mathcal{H}$ 的特征多项式与具有对数关联的高斯过程之间的联系。我们引入了一种 Hurst 指数为零的正则化分数布朗运动，这是一种具有平稳增量和对数增量结构的高斯过程。随后我们证明，当 $N\to\infty$ 时，该过程作为 $D_N(z)=-\log|\det(\mathcal{H}-zI)|$ 在介观尺度上的极限出现。通过利用傅里叶积分表示，我们借此证明了 Diaconis 和 Shahshahani [J. Appl. Probab. 31A (1994) 49-62] 结果的一个连续类比。在宏观尺度上，$D_N(x)$ 产生了另一种具有对数关联的高斯过程。我们利用 Chebyshev-Fourier 随机级数给出了后者的显式构造。