经典与量子系统中离散非线性薛定谔方程的分形与混沌解

我们讨论具有 $\phi^{4}$ 型势的离散非线性薛定谔方程（DNSE）的定常解，该方程通常适用于若干量子自旋、电子和经典晶格系统。我们表明，可能会出现以不可公度或不规则量子态形式存在的混沌空间结构。作为第一个（典型的）例子，我们考虑一个在原子 $1D$ 链上与声子强耦合的单电子——（Rashba）–Holstein 极化子模型。在绝热近似下，该系统 conventionally 由 DNSE 描述。另一个相关的例子是由同一 DNSE 描述的层状超导体中的超导态。在许多其他应用中，经典晶格的典型例子是耦合非线性振子系统。我们给出了该模型在强耦合极限下的精确能谱及相应的波函数。以此为出发点，我们进一步计算中等耦合下的波函数，并发现这些波函数结构的能量本征值与精确的强耦合结果极为吻合。这一过程使我们能够直接（数值地）获得 DNSE 的精确解。当应用于我们的典型例子时，我们发现可形变晶格上电子（以及其他量子或经典离散系统）的波函数可能呈现不可公度与不规则结构。这些态类似于经典混沌动力学中发现的周期、准周期和混沌结构。